Garis Singgung Lingkaran
Lingkaran mungkin merupakan salah satu
bentuk bangun datar yang paling terkenal. Konsep lingkaran yang
meliputi unsur-unsur lingkaran, luas lingkaran, dan keliling lingkaran
sudah kamu pelajari sejak Sekolah Dasar.
Banyak benda-benda di sekitarmu yang tanpa kamu sadari sebenarnya menggunakan konsep lingkaran. Misalnya, rantai sepeda, katrol timba, subwoofer, hingga alat-alat musik seperti drum, banjo, dan kerincing. Pada bab ini, kamu akan mempelajari salah satu konsep penting tentang lingkaran, yaitu garis singgung lingkaran.
A. Pengertian Garis Singgung Lingkaran
1. Sifat Garis Singgung Lingkaran
Gambar 7.1 di samping menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik O
dengan diameter AB. Garis g tegak lurus AB dan memotong lingkaran di dua
titik. Jika g digeser terus menerus ke atas hingga menyentuh titik A
maka akan diperoleh garis g' yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus
AB. Garis g' disebut garis singgung dan titik A disebut titik singgung.
Uraian di atas menggambarkan definisi dari garis singgung lingkaran
yaitu:
Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Perhatikan Gambar 7.2 Gambar 7.2(a) memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Pada Gambar 7.2(b) , titik R terletak di luar lingkaran. Garis l melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak lurus jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran.
2. Melukis Garis Singgung
Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah
memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian
berikut.
a. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu
tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik
singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik
singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap
jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung
lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.
Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran di titik P. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian sebelumnya.
b. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.
3. Panjang Garis Singgung Lingkaran
Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan
menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar
lingkaran. Perhatikan gambar berikut.
B. Garis Singgung Dua Lingkaran
Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai
roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang
berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua
lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan
lingkaran. Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan
sebagai
garis yang tepat menyinggung dua lingkaran.
1. Kedudukan Dua lingkaran
Secara umum, kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga
jenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling
lepas.
a. Dua Lingkaran Bersinggungan
Perhatikan Gambar 7.3
Gambar 7.3(a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A. Gambar 7.3(b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar. Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m.
b. Dua Lingkaran Berpotongan
Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar
7.4 mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r dan s.
c. Dua Lingkaran Saling Lepas
Gambar 7.5 memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau
terpisah. Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis
persekutuan luar, yaitu k dan l dan dua garis persekutuan dalam, yaitu m
dan n.
2. Garis Singgung Persekutuan Luar
a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q
serta jari-jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung
persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah
langkah-langkah berikut.
3. Garis Singgung Persekutuan Dalam
a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini.
b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan gambar berikut ini.
C. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga
Pada subbab terakhir ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran
yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam
suatu segitiga.
1. Lingkaran Luar Segitiga
a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui
semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis
sumbu sisi-sisi segitiga.
Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O. OA = O B = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.
b. Melukis Lingkaran Luar Segitiga
Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu
segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. Oleh
karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus
melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.
Perhatikan langkah-langkah berikut.
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukis lah garis sumbu PQ.
2) Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O.
3) Hubungkan O dan Q.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR.
2. Lingkaran Dalam Segitiga
a. Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam
segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat
lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga.
Gambar berikut menunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusat O.
Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF
adalah garis bagi sudut segitiga.
Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam
Banyak benda-benda di sekitarmu yang tanpa kamu sadari sebenarnya menggunakan konsep lingkaran. Misalnya, rantai sepeda, katrol timba, subwoofer, hingga alat-alat musik seperti drum, banjo, dan kerincing. Pada bab ini, kamu akan mempelajari salah satu konsep penting tentang lingkaran, yaitu garis singgung lingkaran.
A. Pengertian Garis Singgung Lingkaran
1. Sifat Garis Singgung Lingkaran
Gambar 7.1 di samping menunjukkan lingkaran yang berpusat di titik O
dengan diameter AB. Garis g tegak lurus AB dan memotong lingkaran di dua
titik. Jika g digeser terus menerus ke atas hingga menyentuh titik A
maka akan diperoleh garis g' yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus
AB. Garis g' disebut garis singgung dan titik A disebut titik singgung.
Uraian di atas menggambarkan definisi dari garis singgung lingkaran
yaitu:Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Perhatikan Gambar 7.2 Gambar 7.2(a) memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Pada Gambar 7.2(b) , titik R terletak di luar lingkaran. Garis l melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak lurus jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran.
2. Melukis Garis Singgung
Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah
memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian
berikut.
a. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu
tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik
singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik
singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap
jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung
lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini.Ternyata, kita hanya dapat membuat satu buah garis singgung lingkaran di titik P. Hal ini membuktikan sifat garis singgung lingkaran pada bagian sebelumnya.
b. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik.
3. Panjang Garis Singgung Lingkaran
Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan
menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar
lingkaran. Perhatikan gambar berikut.
B. Garis Singgung Dua Lingkaran
Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai
roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang
berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua
lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan
lingkaran. Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan
sebagaigaris yang tepat menyinggung dua lingkaran.
1. Kedudukan Dua lingkaran
Secara umum, kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga
jenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling
lepas.
a. Dua Lingkaran Bersinggungan
Perhatikan Gambar 7.3Gambar 7.3(a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A. Gambar 7.3(b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar. Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m.
b. Dua Lingkaran Berpotongan
Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar
7.4 mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r dan s.
c. Dua Lingkaran Saling Lepas
Gambar 7.5 memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau
terpisah. Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis
persekutuan luar, yaitu k dan l dan dua garis persekutuan dalam, yaitu m
dan n.
2. Garis Singgung Persekutuan Luar
a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar
Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q
serta jari-jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung
persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah
langkah-langkah berikut.
3. Garis Singgung Persekutuan Dalam
a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini.
b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
Perhatikan gambar berikut ini.4. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran
Pernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? Bagaimana kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu panjang atau terlalu pendek? Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar berikut ini.
C. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga
Pada subbab terakhir ini, kamu akan mempelajari tentang lingkaran
yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam
suatu segitiga.
1. Lingkaran Luar Segitiga
a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui
semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis
sumbu sisi-sisi segitiga.Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O. OA = O B = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga.
b. Melukis Lingkaran Luar Segitiga
Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu
segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. Oleh
karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus
melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut.Perhatikan langkah-langkah berikut.
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukis lah garis sumbu PQ.
2) Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O.
3) Hubungkan O dan Q.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR.
2. Lingkaran Dalam Segitiga
a. Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga
Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam
segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat
lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga.
Gambar berikut menunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusat O.
Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF
adalah garis bagi sudut segitiga.b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga
Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga, bukan? Materi tersebut telah kalian pelajari di Kelas VII.Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam
1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. Kemudian, lukislah garis bagi P.
2) Lukislah garis bagi Q sehingga memotong garis bagi P di titik O.
3) Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ.
4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR.
Referensi : www.crayonpedia.org
0 komentar:
Posting Komentar